Humanidades

Pesquisador desenvolve nova ferramenta para entender problemas computacionais difíceis que parecem intratáveis
Existe, de fato, uma classe inteira de problemas considerados impossíveis de resolver algoritmicamente. Logo abaixo desta classe encontram-se problemas ligeiramente
Por Steve Nadis - 11/01/2022


Em alguns casos, o diâmetro de cada pico será muito menor do que as distâncias entre os diferentes picos. Consequentemente, se alguém escolhesse quaisquer dois pontos nessa paisagem extensa — quaisquer duas "soluções" possíveis — eles estariam muito próximos (se viessem do mesmo pico) ou muito distantes (se extraídos de picos diferentes). Em outras palavras, haveria uma "lacuna" reveladora nessas distâncias - pequenas ou grandes, mas nada no meio. Crédito: David Gamarnik et al.

A noção de que alguns problemas computacionais em matemática e ciência da computação podem ser difíceis não deve surpreender. Existe, de fato, uma classe inteira de problemas considerados impossíveis de resolver algoritmicamente. Logo abaixo desta classe encontram-se problemas ligeiramente "fáceis" que são menos bem compreendidos - e podem ser impossíveis também.

David Gamarnik, professor de pesquisa operacional da MIT Sloan School of Management e do Institute for Data, Systems, and Society, está concentrando sua atenção nesta última categoria de problemas menos estudada, que são mais relevantes para o mundo cotidiano porque envolvem aleatoriedade — uma característica integral dos sistemas naturais. Ele e seus colegas desenvolveram uma ferramenta poderosa para analisar esses problemas chamada de propriedade do intervalo de sobreposição (ou OGP). Gamarnik descreveu a nova metodologia em um artigo recente no Proceedings of the National Academy of Sciences .

P ≠ NP

Cinquenta anos atrás, o problema mais famoso da ciência da computação teórica foi formulado. Rotulado "P ≠ NP", ele pergunta se existem problemas envolvendo grandes conjuntos de dados para os quais uma resposta pode ser verificada de forma relativamente rápida, mas cuja solução - mesmo se trabalhada nos computadores mais rápidos disponíveis - levaria um tempo absurdamente longo.

A conjectura P ≠ NP ainda não foi comprovada, mas a maioria dos cientistas da computação acredita que muitos problemas familiares - incluindo, por exemplo, o problema do caixeiro viajante - se enquadram nessa categoria incrivelmente difícil. O desafio no exemplo do vendedor é encontrar o caminho mais curto, em termos de distância ou tempo, através de N cidades diferentes. A tarefa é facilmente gerenciada quando N=4, pois existem apenas seis rotas possíveis a serem consideradas. Mas para 30 cidades, existem mais de 10 30 rotas possíveis, e os números aumentam dramaticamente a partir daí. A maior dificuldade está em projetar um algoritmo que resolva rapidamente o problema em todos os casos, para todos os valores inteiros de N. Os cientistas da computação estão confiantes, com base na teoria da complexidade algorítmica, que tal algoritmo não existe, afirmando assim que P ≠ NP.

Existem muitos outros exemplos de problemas intratáveis ​​como este. Suponha, por exemplo, que você tenha uma tabela gigante de números com milhares de linhas e milhares de colunas. Você consegue encontrar, entre todas as combinações possíveis, o arranjo preciso de 10 linhas e 10 colunas de modo que suas 100 entradas tenham a maior soma possível? "Nós as chamamos de tarefas de otimização", diz Gamarnik, "porque você está sempre tentando encontrar a maior ou a melhor — a maior soma de números, a melhor rota pelas cidades e assim por diante".
 
Os cientistas da computação reconheceram há muito tempo que não se pode criar um algoritmo rápido que possa, em todos os casos, resolver com eficiência problemas como a saga do caixeiro-viajante. "Tal coisa é provavelmente impossível por razões que são bem compreendidas", observa Gamarnik. "Mas na vida real, a natureza não gera problemas de uma perspectiva adversária. Ela não está tentando frustrá-lo com o problema mais desafiador e escolhido a dedo concebível." Na verdade, as pessoas normalmente encontram problemas em circunstâncias mais aleatórias e menos planejadas, e esses são os problemas que a OGP pretende resolver.

Picos e vales

Para entender do que se trata a OGP, primeiro pode ser instrutivo ver como a ideia surgiu. Desde a década de 1970, os físicos estudam vidros de spin – materiais com propriedades de líquidos e sólidos que têm comportamentos magnéticos incomuns. A pesquisa em vidros de spin deu origem a uma teoria geral de sistemas complexos que é relevante para problemas de física, matemática, ciência da computação, ciência dos materiais e outros campos. (Este trabalho rendeu a Giorgio Parisi um Prêmio Nobel de Física de 2021.)

Uma questão irritante com a qual os físicos lutaram é tentar prever os estados de energia, e particularmente as configurações de energia mais baixas, de diferentes estruturas de vidro de spin. A situação às vezes é retratada por uma "paisagem" de inúmeros picos de montanhas separados por vales, onde o objetivo é identificar o pico mais alto. Nesse caso, o pico mais alto na verdade representa o estado de energia mais baixo (embora seja possível inverter a imagem e procurar o buraco mais profundo). Isso acaba sendo um problema de otimização semelhante em forma ao dilema do caixeiro-viajante, explica Gamarnik: "Você tem essa enorme coleção de montanhas, e a única maneira de encontrar a mais alta parece ser escalando cada uma delas" Tarefa de Sísifo comparável a encontrar uma agulha no palheiro.

Os físicos mostraram que você pode simplificar essa imagem e dar um passo em direção a uma solução, cortando as montanhas em uma certa elevação predeterminada e ignorando tudo abaixo desse nível de corte. Você ficaria com uma coleção de picos se projetando acima de uma camada uniforme de nuvens, com cada ponto desses picos representando uma solução potencial para o problema original.

Em um artigo de 2014, Gamarnik e seus coautores notaram algo que anteriormente havia sido negligenciado. Em alguns casos, eles perceberam, o diâmetro de cada pico será muito menor do que as distâncias entre os diferentes picos. Consequentemente, se alguém escolhesse quaisquer dois pontos nessa paisagem extensa - quaisquer duas "soluções" possíveis - eles estariam muito próximos (se viessem do mesmo pico) ou muito distantes (se extraídos de picos diferentes). Em outras palavras, haveria uma "lacuna" reveladora nessas distâncias - pequenas ou grandes, mas nada no meio. Um sistema nesse estado, proposto por Gamarnik e colegas, é caracterizado pelo OGP.

"Descobrimos que todos os problemas conhecidos de natureza aleatória que são algoritmicamente difíceis têm uma versão dessa propriedade" - ou seja, que o diâmetro da montanha no modelo esquemático é muito menor do que o espaço entre as montanhas, afirma Gamarnik. "Isso fornece uma medida mais precisa da dureza algorítmica."

Desvendando os segredos da complexidade algorítmica

O surgimento do OGP pode ajudar os pesquisadores a avaliar a dificuldade de criar algoritmos rápidos para resolver problemas específicos. E já permitiu que eles “descartem matematicamente [e] rigorosamente uma grande classe de algoritmos como potenciais candidatos”, diz Gamarnik. "Aprendemos, especificamente, que algoritmos estáveis ​​- aqueles cuja saída não mudará muito se a entrada mudar apenas um pouco - falharão em resolver esse tipo de problema de otimização." Esse resultado negativo se aplica não apenas aos computadores convencionais, mas também aos computadores quânticos e, especificamente, aos chamados "algoritmos de otimização de aproximação quântica" (QAOAs), que alguns pesquisadores esperavam que pudessem resolver esses mesmos problemas de otimização. Agora, devido às descobertas de Gamarnik e seus coautores,

"Se isso é uma boa notícia ou uma má notícia depende da sua perspectiva", diz ele. "Acho que é uma boa notícia no sentido de que nos ajuda a desvendar os segredos da complexidade algorítmica e aumenta nosso conhecimento sobre o que está no reino da possibilidade e o que não é. É uma má notícia no sentido de que nos diz que esses problemas são difíceis, mesmo que a natureza os produza, e mesmo que sejam gerados de forma aleatória." A notícia não é realmente surpreendente, acrescenta. "Muitos de nós esperavam isso o tempo todo, mas agora temos uma base mais sólida para fazer essa afirmação."

Isso ainda deixa os pesquisadores a anos-luz de conseguir provar a inexistência de algoritmos rápidos que poderiam resolver esses problemas de otimização em configurações aleatórias. Ter tal prova forneceria uma resposta definitiva para o problema P ≠ NP. "Se pudéssemos mostrar que não podemos ter um algoritmo que funcione a maior parte do tempo", diz ele, "isso nos diria que certamente não podemos ter um algoritmo que funcione o tempo todo".

Prever quanto tempo levará até que o problema P ≠ NP seja resolvido parece ser um problema intratável em si. É provável que haja muito mais picos para escalar e vales para atravessar, antes que os pesquisadores obtenham uma perspectiva mais clara da situação.

 

.
.

Leia mais a seguir