Tecnologia Científica

Onde a matemática se encontra com a física
As colaborações entre físicos e matemáticos da Penn mostram a importância da pesquisa que atravessa as fronteiras tradicionais que separam os campos da ciência.
Por Erica K. Brockmeier - 11/02/2020

Na comunidade científica, "interdisciplinar" pode parecer um chavão usado nos dias de hoje. Mas unir diferentes disciplinas acadêmicas está longe de ser um novo conceito. Matemática, química, física e biologia foram agrupadas por muitos anos sob a “filosofia natural”, e somente quando o conhecimento cresceu e a especialização se tornou necessária é que essas disciplinas se tornaram mais especializadas. 


Com muitas questões científicas complexas que ainda precisam de respostas, o trabalho em vários campos agora é visto como parte essencial da pesquisa. Na Penn, colaborações de longa duração entre os departamentos de física e astronomia e matemática mostram a importância da pesquisa interdisciplinar que atravessa as fronteiras tradicionais. Os avanços na geometria, na teoria das cordas e na física das partículas, por exemplo, foram possíveis por equipes de pesquisadores que falam diferentes "idiomas", adotam novas culturas de pesquisa e compreendem o poder de resolver problemas por meio de uma abordagem interdisciplinar. 

Um conto de duas disciplinas


Matemática e física são dois campos intimamente conectados. Para os físicos, a matemática é uma ferramenta usada para responder a perguntas. Por exemplo, Newton inventou o cálculo para ajudar a descrever o movimento. Para os matemáticos, a física pode ser uma fonte de inspiração, com conceitos teóricos como a relatividade geral e a teoria quântica, fornecendo um ímpeto para os matemáticos desenvolverem novas ferramentas. 

Mas, apesar de suas estreitas conexões, a pesquisa em física e matemática se baseia em métodos distintos. Como o estudo sistemático de como a matéria se comporta, a física abrange o estudo dos grandes e dos pequenos, das galáxias e planetas aos átomos e partículas. As perguntas são tratadas usando combinações de teorias, experimentos, modelos e observações para apoiar ou refutar novas idéias sobre a natureza do universo. 

Por outro lado, a matemática está focada em tópicos abstratos, como quantidade (teoria dos números), estrutura (álgebra) e espaço (geometria). Os matemáticos procuram padrões e desenvolvem novas idéias e teorias usando lógica pura e raciocínio matemático. Em vez de experimentos ou observações, os matemáticos usam provas para apoiar suas idéias. 

Embora os físicos dependam muito da matemática para fazer cálculos, eles não trabalham para um entendimento fundamental das idéias matemáticas abstratas da maneira que os matemáticos fazem. Os físicos "querem respostas, e a maneira como elas obtêm respostas é fazendo cálculos", diz o matemático Tony Pantev . “Mas, em matemática, os cálculos são apenas uma decoração em cima do bolo. Você tem que entender tudo completamente, depois faz um cálculo. ” 

Essa diferença fundamental leva os pesquisadores de ambos os campos a usar a analogia da linguagem, destacando a necessidade de "traduzir" idéias para progredir e entender um ao outro. "Estamos lidando com a formulação de questões de física para que possa ser visto como um problema de matemática", diz o físico Mirjam Cvetič . "Essa é tipicamente a parte mais difícil." 

Kamien trabalha com problemas de física, pois possui uma forte conexão com geometria e topologia e incentiva seus alunos a entender os problemas como os matemáticos. "Compreender as coisas com o objetivo de compreendê-las vale a pena, e conectá-las a coisas que outras pessoas sabem também vale a pena", diz ele. 
“Um físico chega até nós e pergunta: 'Como você prova que isso é verdade?' e imediatamente mostramos a eles que é falso ”, diz o matemático Ron Donagi . "Mas continuamos conversando, e o truque não é fazer o que eles dizem fazer, mas o que eles querem dizer, uma tradução do problema."

Além das diferenças de metodologia e linguagem, a matemática e a física também têm diferentes culturas de pesquisa. Na física, os trabalhos podem envolver dezenas de coautores e instituições, com pesquisadores publicando trabalhos várias vezes por ano. Por outro lado, os matemáticos podem trabalhar em um único problema que leva anos para ser concluído com um pequeno número de colaboradores. “Às vezes, os artigos de física são essencialmente: 'Descobrimos isso, não é legal' '”, diz o físico Randy Kamien . “Mas matemática nunca é assim. Tudo se resume a entender as coisas para entendê-las. Culturalmente, é muito diferente. ” 

Cuidado com o vão 


Quando perguntados sobre como matemáticos e físicos podem preencher essas lacunas fundamentais e trabalhar com sucesso, muitos pesquisadores se referem a um exemplo comumente citado que também tem uma conexão com Penn. Na década de 1950, Eugenio Calabi , hoje professor emérito, conjeturou a existência de uma variedade tridimensional, um espaço topológico organizado de uma maneira que permite que estruturas complexas sejam descritas e entendidas de maneira mais simples. Depois que a existência do coletor foi comprovada em 1978 por Shing-Tung Yau, essa nova descoberta estava pronta para se tornar um componente fundamental de uma nova idéia na física de partículas: a teoria das cordas. 

Proposto na década de 1970 como uma estrutura candidata a uma "teoria de tudo", descreve a matéria como sendo feita de cordas vibratórias unidimensionais que formam partículas elementares, como elétrons e neutrinos, bem como forças, como a gravidade e o eletromagnetismo. O desafio, no entanto, é que a teoria das cordas requer um universo de 10 dimensões, de modo que os físicos se voltaram para as variedades de Calabi-Yau como um local para abrigar as dimensões "extras". 

Como a estrutura é tão complexa e comprovada apenas recentemente pelos matemáticos, não era simples implementar diretamente uma estrutura física, mesmo que os físicos usem matemática o tempo todo em seus trabalhos. Os físicos "usam geometria diferencial, mas isso é conhecido há muito tempo", diz o físico Burt Ovrut . "Quando, de repente, a teoria das cordas é lançada, quem diabos sabe o que é uma variedade de Calabi-Yau?" 

Através dos esforços combinados de Ed Witten , um físico com forte conhecimento matemático, e do matemático Michael Atiyah , os pesquisadores descobriram uma maneira de aplicar as variedades Calabi-Yau na teoria das cordas. Foi a capacidade de Witten ajudar a traduzir idéias entre os dois campos que, segundo muitos pesquisadores, foi fundamental para aplicar com sucesso novas idéias da matemática em teorias da física em ascensão. 

Na Penn, matemáticos, incluindo Donagi, Pantev e Antonella Grassi , e os físicos Cvetič, Kamien, Ovrut e Jonathan Heckman também reconheceram a importância de falar um idioma comum enquanto trabalham nos dois campos. Eles consideram Penn um lugar particularmente apto a promover conexões e colmatar lacunas nas diferenças culturais, lingüísticas e metodológicas, e atribuem seu sucesso ao tempo gasto ouvindo novas idéias e desenvolvendo maneiras de "traduzir" entre os idiomas.  

Para Donagi, foi um encontro casual com Witten em meados dos anos 90 que levou o matemático a sua primeira colaboração com um pesquisador fora da matemática pura. Ele gostava tanto de trabalhar com Witten que procurou os físicos Cvetič e Ovrut, da Penn, para iniciar uma colaboração "local". "Estou viciado desde então e converso tanto com físicos quanto com outros matemáticos", diz Donagi.

Em meados dos anos 2000, Donagi e Ovrut co-lideraram um programa de matemática e física com Pantev e Grassi, que foi apoiado pelo Departamento de Energia dos EUA. A colaboração marcou uma bem-sucedida primeira colaboração oficial de crossover de matemática e física na Penn. Como explica Ovrut, o trabalho foi focado em um tipo específico de teoria das cordas e exigiu interações extremamente próximas entre os pesquisadores de física e matemática. "Foi na extremidade da matemática e da geometria algébrica, então eu não poderia fazer isso sozinho, e os matemáticos estavam muito interessados ​​nessas coisas." 

Cvetič, um colaborador de longa data de Donagi e Grassi , diz que os matemáticos de Penn têm a experiência necessária para ajudar a responder perguntas importantes em física e que suas colaborações na interface da teoria das cordas e da geometria algébrica são "extremamente produtivas e produtivas". 

"Acho que tem sido incrivelmente produtivo e útil para ambos os grupos", diz Donagi. “Fazemos isso há mais tempo do que ninguém e temos uma conexão muito boa e forte entre os grupos. Eles quase se tornaram um grupo. ”

E, em termos de abraçar as diferenças culturais, físicos como Kamien, que trabalha em problemas com uma forte conexão com geometria e topologia, incentiva os membros de seu grupo a tentar entender a matemática da maneira que os matemáticos fazem, em vez de apenas considerá-la uma ferramenta para o seu trabalho. "Tentamos absorver não apenas a linguagem, mas a cultura, como eles entendem as coisas e como às vezes é melhor entender um problema mais profundamente", diz ele. 

Atravessando caminhos


Craig Lawrie e Ling Lin, atual e ex-pós-doutorado que trabalha com Cvetič e Heckman, conhecem em primeira mão os desafios e as oportunidades de trabalhar em um problema que combina matemática e física de ponta. Físicos como Lawrie e Lin, que trabalham na teoria M e na teoria F, estão tentando descobrir que tipos de partículas diferentes estruturas geométricas podem criar, além de remover as seis dimensões "extras". 

A adição de simetrias extras facilita o trabalho dos problemas da teoria das cordas e permite que os pesquisadores façam perguntas sobre as propriedades das estruturas geométricas e como elas correspondem à física do mundo real. Com base no trabalho anterior de Heckman, Lawrie e Lin, foram capazes de extrair recursos físicos de geometrias conhecidas em sistemas tridimensionais para verificar se essas partículas se sobrepunham às partículas do modelo padrão. Usando seus conhecimentos de física e matemática, os pesquisadores mostraram que geometrias em diferentes dimensões estão relacionadas matematicamente, o que significa que podem estudar partículas em diferentes dimensões mais facilmente. 

Usando sua intuição física, Lawrie e Lin foram capazes de aplicar seus conhecimentos de matemática para fazer novas descobertas que não seriam possíveis se os dois campos fossem usados ​​isoladamente. "O que descobrimos parece sugerir que teorias em cinco dimensões vêm de teorias em seis dimensões", explica Lin. "Isso é algo em que os matemáticos, se não soubessem da teoria das cordas ou da física, não pensariam".

Lawrie acrescenta que ser capaz de trabalhar diretamente com matemáticos também é útil em seu campo, pois compreender novas pesquisas em matemática pode ser um desafio, mesmo para pesquisadores teóricos da física. “Como físicos, podemos ter uma longa discussão em que usamos muita intuição, mas se você conversar com um matemático, eles dirão: 'Espere, exatamente o que você quer dizer com isso?' e então você deve retirar suas suposições importantes ”, diz Lawrie. "Também é bom para esclarecer nosso próprio processo de pensamento".

Rodrigo Barbosa também sabe como é trabalhar em vários campos, no caso dele, da matemática à física. Enquanto estudava uma variedade tridimensional como parte de seu Ph.D. Barbosa se conectou em uma conferência com Lawrie sobre seus interesses de pesquisa compartilhados. Eles foram capazes de combinar suas experiências por meio de uma colaboração interdisciplinar de sucesso , trabalho motivado pelo doutorado de Barbosa. pesquisas em matemática que incluíam professores júnior e sênior, além de pós-doutorados e estudantes de pós-graduação em física. 

Embora Barbosa afirme que o trabalho foi desafiador, especialmente o único matemático do grupo, ele também o considerou gratificante. Ele gostava de ser capaz de fornecer explicações matemáticas para certos conceitos difíceis e apreciava a rara oportunidade de trabalhar tão intimamente com pesquisadores fora de sua área enquanto ainda estava na pós-graduação. “Estou muito agradecido por ter feito meu doutorado. na Penn, porque é realmente um dos poucos lugares onde isso poderia ter acontecido ”, diz ele. 

A próxima geração


Os professores de ambos os departamentos vêem a próxima geração de estudantes e pós-doutorados como "ambidestros", possuindo habilidades, conhecimentos e intuição fundamentais de matemática e física. "Os jovens são extremamente sofisticados e de mente aberta", diz Pantev. “Antigamente, era muito difícil entrar em pesquisas relacionadas à física se você fosse matemático porque o pensamento é completamente diferente. Agora, os jovens são igualmente versados ​​nos dois modos de pensar, por isso é fácil para eles progredir. ”

Heckman também é membro dessa nova geração ambidestro de pesquisadores e, em seus dois anos na Penn, é co-autor de vários artigos e iniciou novos projetos com matemáticos. Ele diz que os pesquisadores que desejam ter sucesso no futuro precisam poder equilibrar as necessidades de ambos os campos. "Alguns estudantes agem mais como matemáticos, e eu tenho que orientá-los a agir mais como físicos, e outros têm mais intuição física, mas precisam aprender matemática", diz ele. 

É um equilíbrio que requer uma mistura de flexibilidade e precisão, e será um desafio contínuo à medida que os tópicos se tornarem cada vez mais complexos e novas observações forem feitas a partir de experimentos de física. “Os matemáticos querem tornar tudo bem definido e rigoroso. Do ponto de vista da física, às vezes você deseja obter uma resposta que não precisa ser bem definida, por isso precisa fazer um compromisso ”, diz Lin. 

Esse compromisso é algo que atraiu Barbosa por trabalhar mais com físicos, acrescentando que os dois campos são complementares. “Os problemas se tornaram tão difíceis que você precisa de informações de todas as direções possíveis. A física funciona encontrando exemplos e descrevendo soluções, enquanto na matemática você tenta ver como essas equações são gerais e como as coisas se encaixam ”, diz Barbosa. Ele também gosta que a física lhe forneça uma maneira de progredir para responder perguntas mais rapidamente do que na matemática pura, onde os problemas podem levar anos para serem resolvidos.

O futuro da travessia


O futuro da pesquisa interdisciplinar dependerá muito da próxima geração, mas Penn está bem posicionada para continuar liderando esses esforços, graças à proximidade dos dois departamentos, doações compartilhadas, cursos com listas cruzadas e estudantes e pós-docs que trabalham ativamente em problemas através dos campos. "Existe essa osmose constante do conhecimento básico que constrói estudantes que são alfabetizados e confortáveis ​​com uma linguagem sofisticada", diz Pantev. "Acho que estamos à frente da curva e acho que vamos ficar à frente da curva."

É algo que muitos da Penn concordam que é uma característica única de seus dois departamentos. "É muito raro ter relações tão próximas entre matemáticos que realmente ouvem o que dizemos", diz Ovrut. “Penn deve se orgulhar de ter esse tipo de sinergia. Não é algo que você vê todos os dias.

Rodrigo Barbosa é professor assistente de pesquisa no Centro Simons de Geometria e Física da Universidade Estadual de Nova York, Stony Brook. Ele ganhou um Ph.D. em matemática de Penn em 2019. 

Mirjam Cvetič  é a professora Fay R. e Eugene L. Langberg no Departamento de Física e Astronomia da Escola de Artes e Ciências da Universidade da Pensilvânia . Ela também tem um compromisso secundário no Departamento de Matemática  e foi recentemente nomeada Pesquisadora Principal da  Colaboração Simons em Holonomia Especial em Geometria, Análise e Física. 

Ron Donagi é professor do Departamento de Matemática da Escola de Artes e Ciências da Universidade da Pensilvânia . Ele também tem um compromisso secundário no Departamento de Física e Astronomia . 

Jonathan Heckman é professor assistente no Departamento de Física e Astronomia da Escola de Artes e Ciências da Universidade da Pensilvânia . Ele também tem um compromisso secundário no Departamento de Matemática . 

Randall Kamien é o professor Vicki e William Abrams em Ciências Naturais do Departamento de Física e Astronomia da Escola de Artes e Ciências da Universidade da Pensilvânia . Ele também tem um compromisso secundário no Departamento de Matemática . 

Craig Lawrie é um pesquisador de pós-doutorado na Escola de Artes e Ciências da Universidade da Pensilvânia .

Ling Lin é um pesquisador que trabalha no CERN. Mais recentemente, ele trabalhou como pesquisador de pós-doutorado na Escola de Artes e Ciências da Universidade da Pensilvânia .

Burt Ovrut é professor do Departamento de Física e Astronomia da Escola de Artes e Ciências da Universidade da Pensilvânia . 

Tony Pantev é professor de turma de 1939 no Departamento de Matemática da Escola de Artes e Ciências da Universidade da Pensilvânia .

 

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