O que vocêfaz depois de resolver a resposta para a vida, o universo e tudo mais? Se vocaªs são matema¡ticos Drew Sutherland e Andy Booker, va£o para o problema mais difa­cil.

Em 2019, Booker, na University of Bristol, e Sutherland, principal cientista pesquisador do MIT, foram os primeiros a encontrar a resposta para 42. O número tem um significado para a cultura pop como a resposta ficta­cia para "a questãofundamental da vida, o universo , e tudo mais ", como Douglas Adams escreveu em seu romance" O Guia do Mochileiro das Gala¡xias ". A pergunta que gera 42, pelo menos no romance, éfrustrantemente, hilariamente desconhecida.

Em matemática, inteiramente por coincidaªncia, existe uma equação polinomial para a qual a resposta, 42, havia iludido os matema¡ticos por décadas. A equação x 3 + y 3 + z 3 = k éconhecida como o problema da soma de cubos. Embora aparentemente simples, a equação se torna exponencialmente difa­cil de resolver quando enquadrada como uma "equação diofantina" - um problema que estipula que, para qualquer valor de k, os valores de x, y e z devem ser números inteiros .

Quando a equação da soma dos cubos éestruturada dessa maneira, para certos valores de k, as soluções inteiras para x, y e z podem crescer para números enormes. O espaço numanãrico que os matema¡ticos devem pesquisar para esses números éainda maior, exigindo ca¡lculos complexos e massivos.

Ao longo dos anos, os matema¡ticos conseguiram, por vários meios, resolver a equação, seja encontrando uma solução ou determinando que uma solução não deve existir, para cada valor de k entre 1 e 100 - exceto para 42.

Em setembro de 2019, Booker e Sutherland, aproveitando o poder combinado de meio milha£o de computadores domanãsticos em todo o mundo, pela primeira vez encontraram uma solução para o 42. A descoberta amplamente relatada estimulou a equipe a enfrentar um problema ainda mais difa­cil e, de algumas formas, mais problema universal: encontrar a próxima solução para 3.

Booker e Sutherland publicaram agora as soluções para 42 e 3, junto com vários outros números superiores a 100, esta semana nos Anais da Academia Nacional de Ciências .

As duas primeiras soluções para a equação x 3 + y 3 + z 3 = 3 podem ser a³bvias para qualquer estudante de a¡lgebra do ensino manãdio, onde x, y e z podem ser 1, 1 e 1, ou 4, 4 e -5. Encontrar uma terceira solução, no entanto, confundiu os teóricos dos números especialistas por décadas, e em 1953 o quebra-cabea§a levou o matema¡tico pioneiro Louis Mordell a fazer a pergunta: a‰ mesmo possí­vel saber se existem outras soluções para 3?

"Isso foi como se Mordell estivesse jogando o desafio", diz Sutherland. "O interesse em resolver essa questãonão étanto para a solução em particular, mas para entender melhor como essas equações são difa­ceis de resolver. a‰ uma referaªncia com a qual podemos nos medir."

Amedida que as décadas se passavam sem novas soluções para o 3, muitos começam a acreditar que não havia nenhuma para ser encontrada. Mas logo depois de encontrar a resposta para 42, o manãtodo de Booker e Sutherland, em um tempo surpreendentemente curto, encontrou a próxima solução para 3:

569936821221962380720 3 + (-569936821113563493509) 3 + (-472715493453327032) 3 = 3

A descoberta foi uma resposta direta a  pergunta de Mordell: Sim, épossí­vel encontrar a próxima solução para 3 e, além do mais, aqui estãoessa solução. E talvez mais universalmente, a solução, envolvendo números gigantescos de 21 da­gitos que não foram possa­veis de peneirar atéagora, sugere que existem mais soluções la¡ fora, para 3 e outros valores de k.

"Houve algumas daºvidas sanãrias nas comunidades matemática e computacional, porque [a pergunta de Mordell] émuito difa­cil de testar", disse Sutherland. "Os números ficam tão grandes tão rápido. Vocaª nunca vai encontrar mais do que as primeiras soluções. Mas o que posso dizer anã, tendo encontrado essa solução, estou convencido de que háinfinitamente muitas mais por aa­."

Para encontrar as soluções para 42 e 3, a equipe começou com um algoritmo existente, ou uma torção da equação da soma dos cubos em uma forma que eles acreditavam ser mais gerencia¡vel de resolver:

k - z 3 = x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2 )

Essa abordagem foi proposta pela primeira vez pelo matema¡tico Roger Heath-Brown, que conjecturou que deveria haver um número infinito de soluções para cada k adequado. A equipe modificou ainda mais o algoritmo, representando x + y como um aºnico para¢metro, d. Eles então reduziram a equação dividindo ambos os lados por d e mantendo apenas o restante - uma operação em matemática denominada "ma³dulo d" - deixando uma representação simplificada do problema.

"Agora vocêpode pensar em k como uma raiz caºbica de z, ma³dulo d", explica Sutherland. "Então, imagine trabalhar em um sistema de aritmanãtica em que vocêsão se preocupa com o ma³dulo d restante e estamos tentando calcular uma raiz caºbica de k."

Com essa versão mais elegante da equação, os pesquisadores são precisariam procurar os valores de d e z que garantiriam encontrar as soluções finais para x, y e z, para k = 3. Mesmo assim, o espaço de números que eles teriam que pesquisar seria infinitamente grande.

Assim, os pesquisadores otimizaram o algoritmo usando técnicas matemáticas de "peneiramento" para reduzir drasticamente o espaço de soluções possa­veis para d.

"Isso envolve alguma teoria de números bastante avana§ada, usando a estrutura do que sabemos sobre campos numanãricos para evitar procurar em lugares que não precisamos olhar", diz Sutherland.

A equipe também desenvolveu maneiras de dividir com eficiência a pesquisa do algoritmo em centenas de milhares de fluxos de processamento paralelo. Se o algoritmo fosse executado em apenas um computador, levaria centenas de anos para encontrar uma solução para k = 3. Ao dividir o trabalho em milhões de tarefas menores, cada uma executada de forma independente em um computador separado, a equipe pode acelerar ainda mais a pesquisa.

Em setembro de 2019, os pesquisadores colocaram seu plano em ação por meio do Charity Engine, um projeto que pode ser baixado como um aplicativo gratuito por qualquer computador pessoal e que éprojetado para aproveitar qualquer capacidade de computação doméstica dispona­vel para resolver coletivamente problemas matema¡ticos difa­ceis. Na anãpoca, a grade do Charity Engine compreendia mais de 400.000 computadores em todo o mundo, e Booker e Sutherland puderam executar seu algoritmo na rede como um teste da nova plataforma de software do Charity Engine.

“Para cada computador na rede, eles são informados, 'seu trabalho éprocurar ds cujo fator principal se enquadre nessa faixa, sujeito a algumas outras condições'”, diz Sutherland. "E tivemos que descobrir como dividir o trabalho em cerca de 4 milhões de tarefas, cada uma levando cerca de três horas para ser conclua­da por um computador."

Muito rapidamente, a grade global retornou a primeira solução para k = 42 e, apenas duas semanas depois, os pesquisadores confirmaram que haviam encontrado a terceira solução para k = 3 - um marco que marcaram, em parte, imprimindo a equação em Camisetas.

O fato de existir uma terceira solução para k = 3 sugere que a conjectura original de Heath-Brown estava certa e que háinfinitamente mais soluções além da mais nova. Heath-Brown também prevaª que o espaço entre as soluções crescera¡ exponencialmente, junto com suas pesquisas. Por exemplo, em vez dos valores de 21 da­gitos da terceira solução, a quarta solução para x, y e z provavelmente envolvera¡ números com estonteantes 28 da­gitos.

"A quantidade de trabalho que vocêtem que fazer para cada nova solução aumenta em um fator de mais de 10 milhões, então a próxima solução para 3 vai precisar de 10 milhões vezes 400.000 computadores para encontrar, e não hágarantia de que seja o suficiente", diz Sutherland . "Nãosei se algum dia saberemos a quarta solução. Mas acredito que ela esteja aa­."