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Depois de decifrar o quebra-cabeça da 'soma de cubos' para 42, os pesquisadores descobrem uma nova solução para 3
Booker e Sutherland publicaram agora as soluções para 42 e 3, junto com vários outros números superiores a 100, esta semana nos Anais da Academia Nacional de Ciências .
Por Jennifer Chu - 11/03/2021


Em setembro de 2019, os pesquisadores, aproveitando a potência combinada de meio milhão de computadores domésticos em todo o mundo, pela primeira vez encontraram uma solução para o 42. A descoberta amplamente divulgada estimulou a equipe a enfrentar um problema ainda mais difícil e, de certa forma, mais universal : encontrando a próxima solução para 3. Créditos: Christine Daniloff, MIT

O que você faz depois de resolver a resposta para a vida, o universo e tudo mais? Se vocês são matemáticos Drew Sutherland e Andy Booker, vão para o problema mais difícil.

Em 2019, Booker, na University of Bristol, e Sutherland, principal cientista pesquisador do MIT, foram os primeiros a encontrar a resposta para 42. O número tem um significado para a cultura pop como a resposta fictícia para "a questão fundamental da vida, o universo , e tudo mais ", como Douglas Adams escreveu em seu romance" O Guia do Mochileiro das Galáxias ". A pergunta que gera 42, pelo menos no romance, é frustrantemente, hilariamente desconhecida.

Em matemática, inteiramente por coincidência, existe uma equação polinomial para a qual a resposta, 42, havia iludido os matemáticos por décadas. A equação x 3 + y 3 + z 3 = k é conhecida como o problema da soma de cubos. Embora aparentemente simples, a equação se torna exponencialmente difícil de resolver quando enquadrada como uma "equação diofantina" - um problema que estipula que, para qualquer valor de k, os valores de x, y e z devem ser números inteiros .

Quando a equação da soma dos cubos é estruturada dessa maneira, para certos valores de k, as soluções inteiras para x, y e z podem crescer para números enormes. O espaço numérico que os matemáticos devem pesquisar para esses números é ainda maior, exigindo cálculos complexos e massivos.

Ao longo dos anos, os matemáticos conseguiram, por vários meios, resolver a equação, seja encontrando uma solução ou determinando que uma solução não deve existir, para cada valor de k entre 1 e 100 - exceto para 42.

Em setembro de 2019, Booker e Sutherland, aproveitando o poder combinado de meio milhão de computadores domésticos em todo o mundo, pela primeira vez encontraram uma solução para o 42. A descoberta amplamente relatada estimulou a equipe a enfrentar um problema ainda mais difícil e, de algumas formas, mais problema universal: encontrar a próxima solução para 3.

Booker e Sutherland publicaram agora as soluções para 42 e 3, junto com vários outros números superiores a 100, esta semana nos Anais da Academia Nacional de Ciências .
 
Pegando o desafio

As duas primeiras soluções para a equação x 3 + y 3 + z 3 = 3 podem ser óbvias para qualquer estudante de álgebra do ensino médio, onde x, y e z podem ser 1, 1 e 1, ou 4, 4 e -5. Encontrar uma terceira solução, no entanto, confundiu os teóricos dos números especialistas por décadas, e em 1953 o quebra-cabeça levou o matemático pioneiro Louis Mordell a fazer a pergunta: É mesmo possível saber se existem outras soluções para 3?

"Isso foi como se Mordell estivesse jogando o desafio", diz Sutherland. "O interesse em resolver essa questão não é tanto para a solução em particular, mas para entender melhor como essas equações são difíceis de resolver. É uma referência com a qual podemos nos medir."

À medida que as décadas se passavam sem novas soluções para o 3, muitos começaram a acreditar que não havia nenhuma para ser encontrada. Mas logo depois de encontrar a resposta para 42, o método de Booker e Sutherland, em um tempo surpreendentemente curto, encontrou a próxima solução para 3:

569936821221962380720 3 + (-569936821113563493509) 3 + (-472715493453327032) 3 = 3

A descoberta foi uma resposta direta à pergunta de Mordell: Sim, é possível encontrar a próxima solução para 3 e, além do mais, aqui está essa solução. E talvez mais universalmente, a solução, envolvendo números gigantescos de 21 dígitos que não foram possíveis de peneirar até agora, sugere que existem mais soluções lá fora, para 3 e outros valores de k.

"Houve algumas dúvidas sérias nas comunidades matemática e computacional, porque [a pergunta de Mordell] é muito difícil de testar", disse Sutherland. "Os números ficam tão grandes tão rápido. Você nunca vai encontrar mais do que as primeiras soluções. Mas o que posso dizer é, tendo encontrado essa solução, estou convencido de que há infinitamente muitas mais por aí."

Uma reviravolta da solução

Para encontrar as soluções para 42 e 3, a equipe começou com um algoritmo existente, ou uma torção da equação da soma dos cubos em uma forma que eles acreditavam ser mais gerenciável de resolver:

k - z 3 = x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2 )

Essa abordagem foi proposta pela primeira vez pelo matemático Roger Heath-Brown, que conjecturou que deveria haver um número infinito de soluções para cada k adequado. A equipe modificou ainda mais o algoritmo, representando x + y como um único parâmetro, d. Eles então reduziram a equação dividindo ambos os lados por d e mantendo apenas o restante - uma operação em matemática denominada "módulo d" - deixando uma representação simplificada do problema.

"Agora você pode pensar em k como uma raiz cúbica de z, módulo d", explica Sutherland. "Então, imagine trabalhar em um sistema de aritmética em que você só se preocupa com o módulo d restante e estamos tentando calcular uma raiz cúbica de k."

Com essa versão mais elegante da equação, os pesquisadores só precisariam procurar os valores de d e z que garantiriam encontrar as soluções finais para x, y e z, para k = 3. Mesmo assim, o espaço de números que eles teriam que pesquisar seria infinitamente grande.

Assim, os pesquisadores otimizaram o algoritmo usando técnicas matemáticas de "peneiramento" para reduzir drasticamente o espaço de soluções possíveis para d.

"Isso envolve alguma teoria de números bastante avançada, usando a estrutura do que sabemos sobre campos numéricos para evitar procurar em lugares que não precisamos olhar", diz Sutherland.

Uma tarefa global

A equipe também desenvolveu maneiras de dividir com eficiência a pesquisa do algoritmo em centenas de milhares de fluxos de processamento paralelo. Se o algoritmo fosse executado em apenas um computador, levaria centenas de anos para encontrar uma solução para k = 3. Ao dividir o trabalho em milhões de tarefas menores, cada uma executada de forma independente em um computador separado, a equipe pode acelerar ainda mais a pesquisa.

Em setembro de 2019, os pesquisadores colocaram seu plano em ação por meio do Charity Engine, um projeto que pode ser baixado como um aplicativo gratuito por qualquer computador pessoal e que é projetado para aproveitar qualquer capacidade de computação doméstica disponível para resolver coletivamente problemas matemáticos difíceis. Na época, a grade do Charity Engine compreendia mais de 400.000 computadores em todo o mundo, e Booker e Sutherland puderam executar seu algoritmo na rede como um teste da nova plataforma de software do Charity Engine.

“Para cada computador na rede, eles são informados, 'seu trabalho é procurar ds cujo fator principal se enquadre nessa faixa, sujeito a algumas outras condições'”, diz Sutherland. "E tivemos que descobrir como dividir o trabalho em cerca de 4 milhões de tarefas, cada uma levando cerca de três horas para ser concluída por um computador."

Muito rapidamente, a grade global retornou a primeira solução para k = 42 e, apenas duas semanas depois, os pesquisadores confirmaram que haviam encontrado a terceira solução para k = 3 - um marco que marcaram, em parte, imprimindo a equação em Camisetas.

O fato de existir uma terceira solução para k = 3 sugere que a conjectura original de Heath-Brown estava certa e que há infinitamente mais soluções além da mais nova. Heath-Brown também prevê que o espaço entre as soluções crescerá exponencialmente, junto com suas pesquisas. Por exemplo, em vez dos valores de 21 dígitos da terceira solução, a quarta solução para x, y e z provavelmente envolverá números com estonteantes 28 dígitos.

"A quantidade de trabalho que você tem que fazer para cada nova solução aumenta em um fator de mais de 10 milhões, então a próxima solução para 3 vai precisar de 10 milhões vezes 400.000 computadores para encontrar, e não há garantia de que seja o suficiente", diz Sutherland . "Não sei se algum dia saberemos a quarta solução. Mas acredito que ela esteja aí."

 

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