Pesquisadores da Universidade de Tsukuba criaram um novo método para derivar equações lineares aproximadas para problemas não lineares complicados. Usando resultados de simulação, eles mostram que o modelo derivado usando sua abordagem de pseudo-linearização proposta produz respostas mais próximas daquelas do conhecido método alternativo. Este trabalho pode ajudar cientistas e engenheiros a prever e aplicar com mais precisão o controle de feedback sobre sistemas mecânicos descritos com equações não lineares.

O artigo foi publicado na revista Scientific Reports .

Os matemáticos geralmente separam as equações em categorias, dependendo de quão complicadas são para resolver. As equações lineares, nas quais as variáveis ??apareceriam como uma linha reta quando mostradas em um gráfico, são mais fáceis de lidar em comparação com problemas não lineares.

No entanto, como disse certa vez o físico Stanislaw Ulam, "usar um termo como 'ciência não linear' é como referir-se ao grosso da zoologia como o estudo de 'animais não-elefantes'". Ou seja, o mundo em que habitamos é complicado, e as variáveis ??geralmente dependem umas das outras de maneiras complicadas. Esses relacionamentos podem levar a ciclos de feedback ou até instabilidades caóticas, tornando as previsões muito mais difíceis. Assim, limitar-se apenas a equações lineares impediria os cientistas de modelar uma grande quantidade de fenômenos importantes, incluindo sistemas mecânicos que desejam controlar.

Infelizmente, grande parte da matemática desenvolvida só funciona para equações lineares. Ter a capacidade de converter sistemas dinâmicos não lineares em versões lineares aproximadas correspondentes seria, portanto, de grande valor. Agora, pesquisadores do Departamento de Sistemas de Interação Mecânica e Inteligente da Universidade de Tsukuba definiram o conceito de "espaço de equilíbrio", que é uma representação teórica de todos os equilíbrios possíveis para o problema para o qual o sistema estaria em equilíbrio.

Os pesquisadores consideram seu trabalho uma ponte entre a matemática abstrata de sistemas dinâmicos não lineares com um número infinito de equilíbrios e o mundo real dos problemas de controle de sistemas. "Embora o conceito básico tenha sido proposto por estudiosos antes, nossa definição de um 'espaço de equilíbrio' abstrato o aproxima das aplicações em engenharia", diz o autor sênior, professor Triet Nguyen-Van. Em seguida, pode-se realizar a pseudo-linearização, na qual podem ser calculadas equações lineares aproximadas que possuem os mesmos estados de equilíbrio do problema original.

Para demonstrar o valor de seu método, os pesquisadores usaram uma simulação de um giroscópio que pode girar livremente em gimbals em todos os três eixos. Encontrar o comportamento de estado estacionário com base em um determinado torque de entrada mostrou-se mais preciso usando sua abordagem.

Essas descobertas podem ser aplicadas ao projeto de sistemas de controle não linear em muitas situações. Algumas dessas aplicações incluem evitar que máquinas com muitos graus de liberdade se tornem instáveis, melhorando assim o desempenho e a segurança.