Na ciência, a explicação com o menor número de suposições tem maior probabilidade de ser verdadeira. Chamado de "navalha de Occam", esse princípio tem guiado teorias e experimentos por séculos. Mas como você compara entre conceitos abstratos?

Em um novo artigo, os filósofos da UC Santa Barbara e da UC Irvine discutem como pesar a complexidade das teorias científicas comparando sua matemática subjacente. Eles visam caracterizar a quantidade de estrutura que uma teoria possui usando simetria – ou os aspectos de um objeto que permanecem os mesmos quando outras mudanças são feitas.

Depois de muita discussão, os autores acabam duvidando que a simetria forneça a estrutura de que precisam. No entanto, eles descobrem por que é um guia tão excelente para entender a estrutura. Seu papel aparece na revista Synthese .

“As teorias científicas não costumam usar suas interpretações nas mangas, então pode ser difícil dizer exatamente o que elas estão dizendo sobre o mundo”, disse o principal autor Thomas Barrett, professor associado do departamento de filosofia da UC Santa Barbara. "Especialmente as teorias modernas. Elas só ficam mais matemáticas a cada século." Compreender a quantidade de estrutura em diferentes teorias pode nos ajudar a entender o que elas estão dizendo e até nos dar motivos para preferir uma em detrimento da outra.

A estrutura também pode nos ajudar a reconhecer quando duas ideias são realmente a mesma teoria, apenas com roupas diferentes. Por exemplo, no início do século 20, Werner Heisenberg e Erwin Schrödinger formularam duas teorias separadas da mecânica quântica. "E eles odiavam as teorias uns dos outros", disse Barrett. Schrödinger argumentou que a teoria de seu colega "carecia de visualizabilidade". Enquanto isso, Heisenberg achou a teoria de Schrödinger "repulsiva" e afirmou que "o que Schrödinger escreve sobre visualizabilidade [...] é uma porcaria".

Mas, embora os dois conceitos parecessem radicalmente diferentes, na verdade faziam as mesmas previsões. Cerca de uma década depois, seu colega John von Neumann demonstrou que as formulações eram matematicamente equivalentes.

Uma maneira comum de examinar um objeto matemático é observar suas simetrias. A ideia é que objetos mais simétricos tenham estruturas mais simples. Por exemplo, compare um círculo – que tem infinitas simetrias rotacionais e reflexivas – a uma flecha, que tem apenas uma. Nesse sentido, o círculo é mais simples que a flecha e requer menos matemática para ser descrito.

Os autores estendem esta rubrica para matemática mais abstrata usando automorfismos. Essas funções comparam várias partes de um objeto que são, em certo sentido, "iguais" entre si. Os automorfismos nos fornecem uma heurística para medir a estrutura de diferentes teorias: teorias mais complexas têm menos automorfismos.

Em 2012, dois filósofos propuseram uma forma de comparar a complexidade estrutural de diferentes teorias. Um objeto matemático X tem pelo menos tanta estrutura quanto outro, Y, se e somente se os automorfismos de X são um subconjunto daqueles de Y. Considere o círculo novamente. Agora compare com um círculo que é meio vermelho. O círculo sombreado agora tem apenas algumas das simetrias que costumava ter, devido à estrutura extra que foi adicionada ao sistema.

Essa foi uma boa tentativa, mas dependia demais de objetos com o mesmo tipo de simetria. Isso funciona bem para formas, mas não funciona para matemática mais complicada.

Isaac Wilhelm, da Universidade Nacional de Cingapura, tentou corrigir essa sensibilidade. Devemos ser capazes de comparar diferentes tipos de grupos de simetria desde que possamos encontrar uma correspondência entre eles que preserve a estrutura interna de cada um. Por exemplo, rotular uma planta estabelece uma correspondência entre uma imagem e um edifício que preserva o layout interno do edifício.

A mudança nos permite comparar as estruturas de teorias matemáticas muito diferentes, mas também gera respostas incorretas. "Infelizmente, Wilhelm foi longe demais lá", disse Barrett. "Não é qualquer correspondência que serve."

Em seu artigo recente, Barrett e seus coautores, JB Manchak e James Weatherall, tentaram salvar o progresso de seu colega restringindo o tipo de simetria, ou automorfismo, que eles considerariam. Talvez apenas uma correspondência que surja dos objetos subjacentes (por exemplo, o círculo e a flecha), não seus grupos de simetria, seja kosher.

Infelizmente, essa tentativa também falhou. Na verdade, parece que o uso de simetrias para comparar a estrutura matemática pode ser condenado por princípio. Considere uma forma assimétrica. Uma mancha de tinta, talvez. Bem, há mais de uma mancha de tinta no mundo, todas elas completamente assimétricas e completamente diferentes umas das outras. Mas todos eles têm o mesmo grupo de simetria - ou seja, nenhum - então todos esses sistemas classificam os borrões de tinta como tendo a mesma complexidade, mesmo que alguns sejam muito mais confusos do que outros.

Este exemplo de mancha de tinta revela que não podemos dizer tudo sobre a complexidade estrutural de um objeto apenas observando suas simetrias. Como Barrett explicou, o número de simetrias que um objeto admite atinge o fundo do poço em zero. Mas não há um teto correspondente à quantidade de complexidade que um objeto pode ter. Essa incompatibilidade cria a ilusão de um limite superior para a complexidade estrutural.

E aí os autores expõem o verdadeiro problema. O conceito de simetria é poderoso para descrever a estrutura. No entanto, ele não captura informações suficientes sobre um objeto matemático — e a teoria científica que ele representa — para permitir uma comparação completa da complexidade. A busca por um sistema que possa fazer isso continuará a manter os estudiosos ocupados.

Embora a simetria possa não fornecer a solução que os autores esperavam, eles revelam um insight importante: as simetrias tocam nos conceitos com os quais um objeto é natural e organicamente equipado. Desta forma, eles podem ser usados ??para comparar as estruturas de diferentes teorias e sistemas. "Essa ideia fornece uma explicação intuitiva de por que as simetrias são um bom guia para a estrutura", disse Barrett. Os autores escrevem que vale a pena manter essa ideia, mesmo que os filósofos tenham que abandonar o uso de automorfismos para comparar a estrutura.

Felizmente, os automorfismos não são o único tipo de simetria na matemática. Por exemplo, em vez de olhar apenas para simetrias globais, podemos olhar para simetrias de regiões locais e compará-las também. Barrett está atualmente investigando aonde isso levará e trabalhando para descrever o que significa definir uma estrutura em termos de outra.

Embora a clareza ainda nos iluda, este artigo dá aos filósofos um objetivo. Não sabemos até que ponto estamos nesta desafiadora escalada ao cume do entendimento. A rota à frente está envolta em névoa e pode nem haver um cume para alcançar. Mas a simetria fornece um ponto de apoio para ancorar nossas cordas enquanto continuamos subindo.