As férias de verão estão acabando, o que para muitos conclui com uma longa viagem para casa e a dependência de dispositivos GPS para chegar em casa em segurança. Mas de vez em quando, dispositivos GPS podem sugerir direções estranhas ou ficar brevemente confusos sobre sua localização. Mas até agora, ninguém sabia ao certo quando os satélites estavam em uma posição boa o suficiente para o sistema GPS dar uma direção confiável.

Mireille Boutin, da TU/e, e seu colega de trabalho Gregor Kemper, da Universidade Técnica de Munique, recorreram à matemática para ajudar a determinar quando seu sistema GPS tem informações suficientes para determinar sua localização com precisão. A pesquisa foi publicada no periódico Advances in Applied Mathematics .

"Em 200 metros, vire à direita." Esta é uma instrução típica que muitos ouviram do sistema de posicionamento global (GPS).

Sem dúvida, os avanços nas tecnologias de GPS e nos aplicativos de navegação móvel ajudaram o GPS a desempenhar um papel importante nas viagens de carro modernas.

Mas, seguir rigorosamente as instruções dos dispositivos GPS pode levar a situações indesejáveis. Menos sério pode ser virar à esquerda em vez de à direita, enquanto mais sério pode ser dirigir seu carro em um porto — assim como dois turistas fizeram no Havaí em 2023. O último incidente é uma exceção à regra, e alguém pode se perguntar: "Com que frequência isso acontece e por quê?"

"O núcleo do sistema GPS foi desenvolvido em meados da década de 1960. Na época, a teoria por trás dele não fornecia nenhuma garantia de que a localização fornecida estaria correta", diz Boutin, professor do Departamento de Matemática e Ciência da Computação.

Não será surpresa então saber que calcular a posição de um objeto na Terra depende de alguma matemática bacana. E eles não mudaram muito desde os primeiros dias. Eles estão no cerne do sistema GPS que todos nós usamos. E ele merecia uma atualização.

Então, junto com seu colega Gregor Kemper da Universidade Técnica de Munique, Boutin recorreu à matemática para expandir a teoria por trás do sistema GPS, e sua descoberta foi publicada recentemente no periódico Advances in Applied Mathematics.

Antes de revelar a grande descoberta de Boutin e Kemper, como o GPS funciona?

O posicionamento global é sobre determinar a posição de um dispositivo na Terra usando sinais enviados por satélites. Um sinal enviado por um satélite carrega duas informações importantes — a posição do satélite no espaço e o horário em que a posição foi enviada pelo satélite. A propósito, o horário é registrado por um relógio muito preciso a bordo do satélite, que geralmente é um relógio atômico.

Graças ao relógio atômico, os satélites enviam horários muito precisos, mas o grande problema está na precisão do relógio no dispositivo do usuário, seja um dispositivo de navegação GPS, um smartphone ou um relógio de corrida.

"Na verdade, o GPS combina informações precisas e imprecisas para descobrir onde um dispositivo está localizado", diz Boutin. "O GPS pode ser amplamente usado, mas não conseguimos encontrar nenhuma base teórica para garantir que a posição obtida dos sinais de satélite seja única e precisa."

Se você fizer uma rápida pesquisa no Google sobre o número mínimo de satélites necessários para navegação com GPS, diversas fontes relatam que são necessários pelo menos quatro satélites.

Mas a questão não é apenas quantos satélites você pode ver, mas também quais arranjos eles podem formar? Para alguns arranjos, determinar a posição do usuário é impossível. Mas quais arranjos exatamente? Era isso que os pesquisadores queriam descobrir.

"Encontramos conjecturas em artigos científicos que parecem ser amplamente aceitos, mas não conseguimos encontrar nenhum argumento rigoroso para apoiá-los em lugar nenhum. Portanto, pensamos que, como matemáticos, poderíamos preencher essa lacuna de conhecimento", diz Boutin.

Para resolver o problema, Boutin e Kemper simplificaram o problema do GPS para o que funciona melhor na prática: equações que são lineares em termos de variáveis desconhecidas.

"Um conjunto de equações lineares é a forma mais simples de equações que poderíamos esperar. Para ser honesto, ficamos surpresos que esse conjunto simples de equações lineares para o problema do GPS ainda não fosse conhecido", acrescenta Boutin.

Com suas equações lineares prontas, Boutin e Kemper então analisaram atentamente as soluções das equações, prestando atenção especial se as equações davam uma solução única.

"Uma solução única implica que a única solução para as equações é a posição real do usuário", observa Boutin.

Se houver mais de uma solução para as equações, então apenas uma estará correta — ou seja, a verdadeira posição do usuário — mas o sistema GPS não saberá qual escolher e poderá retornar a errada.

Os pesquisadores descobriram que soluções não únicas podem surgir quando os satélites estão em uma estrutura especial conhecida como "hiperboloide de revolução de duas folhas".

"Não importa quantos satélites enviam um sinal — se todos eles estiverem em um desses hiperboloides, é possível que as equações tenham duas soluções, então a escolhida pelo GPS pode estar errada", diz Boutin.

Mas e quanto à alegação de que você precisa de pelo menos quatro satélites para determinar sua posição? "Ter quatro satélites pode funcionar, mas a solução nem sempre é única", aponta Boutin.

Para Boutin, este trabalho demonstra o poder e a aplicação da matemática.

"Eu pessoalmente adoro o fato de que a matemática é uma ferramenta muito poderosa com muitas aplicações práticas", diz Boutin. "Eu acho que pessoas que não são matemáticas podem não ver as conexões tão facilmente, e então é sempre bom encontrar exemplos claros e convincentes de problemas cotidianos onde a matemática pode fazer a diferença."

No centro da pesquisa de Boutin e Kemper está o campo da geometria algébrica, no qual métodos algébricos abstratos são usados para resolver problemas geométricos do mundo real.

"A geometria algébrica é uma área da matemática que é considerada muito abstrata. Acho legal ser lembrado de que qualquer parte da matemática, por mais abstrata que seja, pode acabar tendo aplicações práticas em algum momento", diz Boutin.