Quantas pessoas vocêprecisaria em uma festa para garantir que pelo menos três pessoas se conhea§am, ou que pelo menos três não se conhea§am? Pode levar algum tempo para resolver isso com papel e caneta, mas muitos matema¡ticos dira£o prontamente que a resposta éseis. Este cena¡rio de festa, também chamado de teorema dos "amigos e estranhos", ébaseado em um conceito conhecido como números de Ramsey, em homenagem ao matema¡tico brita¢nico Frank Ramsey do ini­cio do século 20.

Agora, imagine que mais pessoas sejam convidadas para essa festa hipotanãtica. Quantos seriam necessa¡rios para garantir que pelo menos cinco pessoas se conhea§am, ou, inversamente, que pelo menos cinco são estranhos? A resposta não éclara. Na verdade, os matema¡ticos sabem apenas que o número de pessoas necessa¡rias seria de pelo menos 43 e não mais que 48. A resposta real fica em algum lugar nesta faixa, mas édesconhecida. Adicione ainda mais pessoas a  festa, e a incerteza do problema rapidamente se torna enorme.

Agora, pela primeira vez em décadas, o professor de matemática da Caltech, David Conlon, e seu colega Asaf Ferber, da UC Irvine, reduziram essa incerteza em quantidades exponenciais, para uma categoria especial de números Ramsey conhecida como números Ramsey multicoloridos. Os pesquisadores descrevem seu trabalho em um estudo publicado na revista Advances in Mathematics.

"Um dos números mais teimosos da matemática finalmente mudou", escreveu Kevin Harnett em um artigo sobre a pesquisa na revista Quanta.

“A solução surgiu muito, muito rapidamente”, diz Conlon. "Ficamos surpresos que funcionou tão bem, na verdade."

Os matema¡ticos pensam sobre os problemas dos números de Ramsey na forma de pontos conectados por linhas, que eles chamam de gra¡ficos. As pessoas na festa do exemplo acima são essencialmente os pontos desses gra¡ficos. Se os indivíduos se conhecessem, uma linha de uma cor, digamos, azul, seria desenhada entre seus respectivos pontos. Se eles não se conhecessem, seriam conectados por uma linha vermelha.

No caso descrito acima, com seis pessoas presentes na festa, pelo menos três pessoas se conhecem, ou pelo menos três pessoas não se conhecem. Assim, no gra¡fico que representa essa situação, haveria pelo menos um tria¢ngulo azul ou um tria¢ngulo vermelho.

“Estamos interessados ​​em saber quais padraµes emergem nesses cenários”, diz Conlon. "Os números de Ramsey nos dizem que mesmo quando as coisas parecem caa³ticas, ainda existem padraµes a serem encontrados."

No novo estudo, Conlon e Ferber analisaram os números de Ramsey onde três ou mais cores são usadas para conectar os pontos nos gra¡ficos (daa­ o termo "multicolor"). Por exemplo, se vocêusou as cores azul, verde e vermelho para conectar os pontos, 17 pontos seriam necessa¡rios para garantir pelo menos um azul, ou um vermelho ou um tria¢ngulo verde. Pelo nosso exemplo de duas cores acima, sabemos que são necessa¡rios apenas seis pontos para garantir um tria¢ngulo vermelho ou um azul. Essencialmente, mais pontos são necessa¡rios nos cenários com várias cores.

Além disso, quando os matema¡ticos desejam identificar não tria¢ngulos, mas formas contendo quatro, cinco ou mais pontos, a incerteza no número total de pontos necessa¡rios aumenta ainda mais rápido para problemas multicoloridos.

Para seu trabalho, Conlon e Ferber usaram um novo tipo de prova para reduzir as incertezas multicoloridas de Ramsey em quantidades exponenciais. Eles dizem que usaram uma abordagem ha­brida que combinou estratanãgias mais antigas, em que a aleatoriedade entra em jogo, com estratanãgias mais novas que são mais determina­sticas.

“Descobrimos que háuma maneira melhor de resolver o problema do que colorir as conexões entre os pontos de forma aleata³ria”, diz Conlon. "Combinamos essa abordagem com uma em que sabemos exatamente o que estamos colorindo em uma determinada cor."

Conlon diz que agora estãovoltando ao problema dos números Ramsey bicolores. Para seu trabalho de doutorado em 2009, ele fez as primeiras melhorias significativas desde 1935 na redução da incerteza das soluções. Para realmente fazer melhorias drama¡ticas para esse tipo de problema, diz ele, algo inteiramente novo énecessa¡rio.

"O caso de duas cores provavelmente exigira¡ uma nova ideia tão substancial que acho que a matemática seria útil em outros problemas matema¡ticos não resolvidos", diz Conlon. "Em matemática, vocêcomea§a porque estãointeressado na coisa em si mesma, mas, mais adiante, torna-se importante ou interessante por outros motivos."

O estudo, intitulado " Limites inferiores para números multicoloridos de Ramsey ", foi financiado pela National Science Foundation.