Talento

Novas teorias na interseção de a¡lgebra e geometria
O professor Chenyang Xu aplica as técnicas da a¡lgebra abstrata para estudar objetos geomanãtricos concretos, mas complexos.
Por Jonathan Mingle - 10/02/2020

Como um "tipo cla¡ssico de matema¡tico" auto-descrito, Chenyang Xu evita o software para papel e caneta, giz e quadro de giz. Passe pelo escrita³rio dele e vocêpodera¡ simplesmente vaª-lo andando, profundamente concentrado.


Chenyang Xu. Imagem: M. Scott Brauer

Caminhar - pelo campus para tomar uma xa­cara de caféou do apartamento ao escrita³rio - éuma parte essencial do processo.

"Na minha opinia£o, em matemática, faa§o muitas imagens no meu cérebro", diz ele. “Se eu precisar de uma imagem mais clara, posso desenhar algo e fazer alguns ca¡lculos. E quando ando, penso nessas fotos.

Esses passos a s vezes o levam aos escrita³rios dos colegas. "Existem muitas mentes excelentes aqui, e eu interajo muito com meus colegas do departamento", diz Xu, um professor de matemática recanãm-titular do MIT.

A especialidade de Xu éa geometria alganãbrica, que aplica os manãtodos de resolução de problemas da a¡lgebra abstrata a s formas complexas, poranãm concretas,superfÍcies, Espaços e curvas da geometria. Seus principais objetos de estudo são variedades alganãbricas - manifestações geomanãtricas de conjuntos de soluções de sistemas de equações polinomiais. Enquanto caminha e conversa com os colegas, Xu se concentra em maneiras de classificar essas variedades alganãbricas emDimensões mais altas, usando as técnicas da geometria biracional.

"Gosto de conversar com outros matema¡ticos que trabalham no meu assunto", diz Xu. “Discutimos um pouco, depois voltamos a pensar por nosmesmos, encontramos novas dificuldades e depois discutimos novamente. A maioria dos meus trabalhos são basicamente colaborações. ”

Essa colaboração ajudou Xu a levar sua pesquisa para uma nova direção no desenvolvimento da nova teoria da estabilidade K das variedades Fano. Ha¡ oito anos, ele dedicou algum pensamento a um determinado assunto em seu campo conhecido como estabilidade K, que ele descreve como "uma definição alganãbrica inventada para estudos de geometria diferencial".

“Tentei desenvolver uma teoria alganãbrica baseada nessa estabilidade K como uma intuição de segundo plano, usando ferramentas de geometria alganãbrica.” Apa³s alguns anos de “gap”, ele finalmente voltou a ele por causa de conversas com seu colaborador Chi Li, um professor de matemática na Universidade de Purdue.

"Ele tinha mais experiência em geometria diferencial e traduziu esse conceito em geometria alganãbrica", diz Xu. “Foi quando eu percebi que isso era importante para estudar. Desde então, fizemos mais do que espera¡vamos háquatro ou cinco anos. ”

Juntos, eles publicaram uma altamente citado papel em 2014 na “K-estabilidade de variedades Fano”, que apresentou uma teoria inteiramente nova no campo da geometria alganãbrica birracional.

Foi representativo de sua abordagem da matemática, que envolve o avanço de novas teorias antes de abordar problemas específicos.

"No meu assunto, háperguntas que todo mundo tenta resolver, que estãoabertas há40 anos", diz Xu. “Eu tenho esse tipo de problema em minha mente. Meu jeito de fazer matemática éseguir a teoria. Em vez de trabalhar em um problema com técnicas, precisamos primeiro desenvolver a teoria. Então vemos algo sob uma nova luz. Toda vez que encontro alguma teoria nova, testo-a em velhos problemas cla¡ssicos para ver se funciona ou não. ”

A beleza da matemática


Crescendo perto de Chengdu, na prova­ncia chinesa de Sichuan, Xu gostava de matemática desde tenra idade. “Eu participei de algumas OlimpÍadas de matemática e me saa­ bem, mas não fui o vencedor da medalha de ouro”, ele diz rindo.

Ele era talentoso o suficiente, no entanto, para obter diplomas de bacharel e mestrado na Universidade de Pequim, como parte do principal programa de matemática da China.

"Depois que entrei na faculdade, comecei a aprender matemática mais avana§ada e achei muito bonita e profunda", diz ele. "Para mim, um grande pedaço de matemática éarte mais que ciência"

"Para resolver esse problema, serámuito importante", diz ele. “Espero que ainda possamos resolver a última parte. Tenho certeza de que esse seria meu melhor trabalho atéhoje".


No final de seu tempo em Pequim, ele se concentrou cada vez mais na geometria alganãbrica. "Eu gosto muito de geometria e queria estudar algum assunto relacionado a  geometria", diz ele. “Descobri que sou bom nas técnicas de a¡lgebra. Então, usar essas técnicas para estudar geometria me encaixa muito bem. ”

Xu então fez doutorado na Universidade de Princeton, onde seu orientador, János Kolla¡r, um dos principais gea´metros alganãbricos, exerceu uma “enorme influaªncia” nele.

"O que aprendi com ele, além de muitas técnicas, éclaro, foi mais sobre o que eu poderia chamar de 'gosto'", diz Xu. “Que perguntas são importantes em matemática? Em geral, os estudantes de pós-graduação ou pa³s-doutorados nos esta¡gios iniciais de sua carreira precisam de algum modelo a seguir. Fazer matemática éuma coisa complicada e, em algum momento, háescolhas que eles precisam fazer ”, diz ele, que exigem equilibrar o quanto difa­cil ou interessante um determinado problema pode ser com preocupações mais prática s sobre sua tratabilidade.

Além da orientação de Kolla¡r, o desconhecimento de seu novo ambiente também ajudou em sua pesquisa.

"Eu nunca tinha estado fora da China antes desse ponto, então houve um choque cultural", lembra ele. “Eu não sabia muito sobre a cultura americana na anãpoca. Mas, em certo sentido, isso me deixou ainda mais concentrado no meu trabalho. ”

Depois que Xu recebeu seu doutorado em 2008, ele passou três anos como pa³s-doutorado e instrutor de CLE Moore no MIT. Ele passou cerca de seis anos como professor no Centro Internacional de Pesquisa Matema¡tica de Pequim e depois retornou ao MIT como professor titular de matemática em 2018.

Ao longo desses anos, Xu demonstrou talento em encontrar questões importantes a serem seguidas, tornando-se um dos principais pensadores em seu campo e realizando uma sanãrie de grandes avanços na geometria biracional alganãbrica.

Em 2017, Xu ganhou o Praªmio de Ciência do Futuro inaugural em Matema¡tica e Ciência da Computação por suas “contribuições fundamentais” para o campo da geometria biracional. Algumas das aplicações do mundo real nesse campo incluem codificação e roba³tica. Por exemplo, técnicas de geometria biracional são usadas para ajudar os robôs a "ver" agrupando uma sanãrie de imagens bidimensionais em algo que se aproxima do campo de visão para navegar em nosso mundo tridimensional.

O trabalho de Xu para avana§ar no programa modelo ma­nimo (MMP) - uma teoria-chave em geometria biracional que foi articulada pela primeira vez no ini­cio dos anos 80 - e aplica¡-lo a variedades alganãbricas ganhou o praªmio New Horizons 2019 por conquistas no ini­cio da carreira em matemática. Desde então, ele provou uma sanãrie de conjecturas relacionadas ao MMP, expandindo-o para variedades anteriormente não testadas de determinadas condições.

A teoria da estabilidade K alganãbrica que ele desenvolveu provou ser um terreno fanãrtil para novas descobertas. "Ainda estou trabalhando neste ta³pico, e éuma pergunta particularmente interessante para mim", diz ele.

Xu tem feito progressos na comprovação de outras conjecturas importantes relacionadas a  estabilidade K enraizadas no programa modelo ma­nimo. Recentemente, ele se baseou nesse trabalho anterior para provar a existaªncia de espaço de ma³dulos para as variedades alganãbricas fano. Agora ele estãotrabalhando duro no desenvolvimento de uma solução para uma propriedade especa­fica desse espaço de ma³dulo: sua "compactação".

"Para resolver esse problema, serámuito importante", diz ele. “Espero que ainda possamos resolver a última parte. Tenho certeza de que esse seria meu melhor trabalho atéhoje.

 

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