Talento

Novas teorias na interseção de álgebra e geometria
O professor Chenyang Xu aplica as técnicas da álgebra abstrata para estudar objetos geométricos concretos, mas complexos.
Por Jonathan Mingle - 10/02/2020

Como um "tipo clássico de matemático" auto-descrito, Chenyang Xu evita o software para papel e caneta, giz e quadro de giz. Passe pelo escritório dele e você poderá simplesmente vê-lo andando, profundamente concentrado.


Chenyang Xu. Imagem: M. Scott Brauer

Caminhar - pelo campus para tomar uma xícara de café ou do apartamento ao escritório - é uma parte essencial do processo.

"Na minha opinião, em matemática, faço muitas imagens no meu cérebro", diz ele. “Se eu precisar de uma imagem mais clara, posso desenhar algo e fazer alguns cálculos. E quando ando, penso nessas fotos.

Esses passos às vezes o levam aos escritórios dos colegas. "Existem muitas mentes excelentes aqui, e eu interajo muito com meus colegas do departamento", diz Xu, um professor de matemática recém-titular do MIT.

A especialidade de Xu é a geometria algébrica, que aplica os métodos de resolução de problemas da álgebra abstrata às formas complexas, porém concretas, superfícies, espaços e curvas da geometria. Seus principais objetos de estudo são variedades algébricas - manifestações geométricas de conjuntos de soluções de sistemas de equações polinomiais. Enquanto caminha e conversa com os colegas, Xu se concentra em maneiras de classificar essas variedades algébricas em dimensões mais altas, usando as técnicas da geometria biracional.

"Gosto de conversar com outros matemáticos que trabalham no meu assunto", diz Xu. “Discutimos um pouco, depois voltamos a pensar por nós mesmos, encontramos novas dificuldades e depois discutimos novamente. A maioria dos meus trabalhos são basicamente colaborações. ”

Essa colaboração ajudou Xu a levar sua pesquisa para uma nova direção no desenvolvimento da nova teoria da estabilidade K das variedades Fano. Há oito anos, ele dedicou algum pensamento a um determinado assunto em seu campo conhecido como estabilidade K, que ele descreve como "uma definição algébrica inventada para estudos de geometria diferencial".

“Tentei desenvolver uma teoria algébrica baseada nessa estabilidade K como uma intuição de segundo plano, usando ferramentas de geometria algébrica.” Após alguns anos de “gap”, ele finalmente voltou a ele por causa de conversas com seu colaborador Chi Li, um professor de matemática na Universidade de Purdue.

"Ele tinha mais experiência em geometria diferencial e traduziu esse conceito em geometria algébrica", diz Xu. “Foi quando eu percebi que isso era importante para estudar. Desde então, fizemos mais do que esperávamos há quatro ou cinco anos. ”

Juntos, eles publicaram uma altamente citado papel em 2014 na “K-estabilidade de variedades Fano”, que apresentou uma teoria inteiramente nova no campo da geometria algébrica birracional.

Foi representativo de sua abordagem da matemática, que envolve o avanço de novas teorias antes de abordar problemas específicos.

"No meu assunto, há perguntas que todo mundo tenta resolver, que estão abertas há 40 anos", diz Xu. “Eu tenho esse tipo de problema em minha mente. Meu jeito de fazer matemática é seguir a teoria. Em vez de trabalhar em um problema com técnicas, precisamos primeiro desenvolver a teoria. Então vemos algo sob uma nova luz. Toda vez que encontro alguma teoria nova, testo-a em velhos problemas clássicos para ver se funciona ou não. ”

A beleza da matemática


Crescendo perto de Chengdu, na província chinesa de Sichuan, Xu gostava de matemática desde tenra idade. “Eu participei de algumas Olimpíadas de matemática e me saí bem, mas não fui o vencedor da medalha de ouro”, ele diz rindo.

Ele era talentoso o suficiente, no entanto, para obter diplomas de bacharel e mestrado na Universidade de Pequim, como parte do principal programa de matemática da China.

"Depois que entrei na faculdade, comecei a aprender matemática mais avançada e achei muito bonita e profunda", diz ele. "Para mim, um grande pedaço de matemática é arte mais que ciência."

"Para resolver esse problema, será muito importante", diz ele. “Espero que ainda possamos resolver a última parte. Tenho certeza de que esse seria meu melhor trabalho até hoje".


No final de seu tempo em Pequim, ele se concentrou cada vez mais na geometria algébrica. "Eu gosto muito de geometria e queria estudar algum assunto relacionado à geometria", diz ele. “Descobri que sou bom nas técnicas de álgebra. Então, usar essas técnicas para estudar geometria me encaixa muito bem. ”

Xu então fez doutorado na Universidade de Princeton, onde seu orientador, János Kollár, um dos principais geômetros algébricos, exerceu uma “enorme influência” nele.

"O que aprendi com ele, além de muitas técnicas, é claro, foi mais sobre o que eu poderia chamar de 'gosto'", diz Xu. “Que perguntas são importantes em matemática? Em geral, os estudantes de pós-graduação ou pós-doutorados nos estágios iniciais de sua carreira precisam de algum modelo a seguir. Fazer matemática é uma coisa complicada e, em algum momento, há escolhas que eles precisam fazer ”, diz ele, que exigem equilibrar o quão difícil ou interessante um determinado problema pode ser com preocupações mais práticas sobre sua tratabilidade.

Além da orientação de Kollár, o desconhecimento de seu novo ambiente também ajudou em sua pesquisa.

"Eu nunca tinha estado fora da China antes desse ponto, então houve um choque cultural", lembra ele. “Eu não sabia muito sobre a cultura americana na época. Mas, em certo sentido, isso me deixou ainda mais concentrado no meu trabalho. ”

Depois que Xu recebeu seu doutorado em 2008, ele passou três anos como pós-doutorado e instrutor de CLE Moore no MIT. Ele passou cerca de seis anos como professor no Centro Internacional de Pesquisa Matemática de Pequim e depois retornou ao MIT como professor titular de matemática em 2018.

Ao longo desses anos, Xu demonstrou talento em encontrar questões importantes a serem seguidas, tornando-se um dos principais pensadores em seu campo e realizando uma série de grandes avanços na geometria biracional algébrica.

Em 2017, Xu ganhou o Prêmio de Ciência do Futuro inaugural em Matemática e Ciência da Computação por suas “contribuições fundamentais” para o campo da geometria biracional. Algumas das aplicações do mundo real nesse campo incluem codificação e robótica. Por exemplo, técnicas de geometria biracional são usadas para ajudar os robôs a "ver" agrupando uma série de imagens bidimensionais em algo que se aproxima do campo de visão para navegar em nosso mundo tridimensional.

O trabalho de Xu para avançar no programa modelo mínimo (MMP) - uma teoria-chave em geometria biracional que foi articulada pela primeira vez no início dos anos 80 - e aplicá-lo a variedades algébricas ganhou o prêmio New Horizons 2019 por conquistas no início da carreira em matemática. Desde então, ele provou uma série de conjecturas relacionadas ao MMP, expandindo-o para variedades anteriormente não testadas de determinadas condições.

A teoria da estabilidade K algébrica que ele desenvolveu provou ser um terreno fértil para novas descobertas. "Ainda estou trabalhando neste tópico, e é uma pergunta particularmente interessante para mim", diz ele.

Xu tem feito progressos na comprovação de outras conjecturas importantes relacionadas à estabilidade K enraizadas no programa modelo mínimo. Recentemente, ele se baseou nesse trabalho anterior para provar a existência de espaço de módulos para as variedades algébricas fano. Agora ele está trabalhando duro no desenvolvimento de uma solução para uma propriedade específica desse espaço de módulo: sua "compactação".

"Para resolver esse problema, será muito importante", diz ele. “Espero que ainda possamos resolver a última parte. Tenho certeza de que esse seria meu melhor trabalho até hoje.

 

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