Talento

Encontrar soluções em meio à incerteza fractal e ao caos quântico
O professor de matemática Semyon Dyatlov explora a relação entre a física clássica e a quântica.
Por Jonathan Mingle - 10/02/2020


Semyon Dyatlov chama a si mesmo de "físico matemático".

Ele é editor associado da revista Probability and Mathematics Physics. Sua tese de doutorado avançou no entendimento da decadência de ondas em buracos negros. E grande parte de sua pesquisa se concentra no desenvolvimento de novas maneiras de entender a correspondência entre a física clássica (que descreve a luz como raios que viajam em linhas retas e refletem superfícies) e sistemas quânticos (nos quais a luz tem dualidade de onda-partícula).

Portanto, pode ser uma surpresa que, quando estudante na Sibéria, ele não tenha estudado física em profundidade.

"Grande parte do meu trabalho está profundamente relacionada à física, mesmo que eu não tenha recebido tanta educação física como estudante", diz ele. "Demorei quando comecei a trabalhar como matemático para começar lentamente a entender coisas como a relatividade geral e a física moderna de partículas".

Uma família que ama matemática e mentores inspiradores

Sua educação matemática, no entanto, foi extensa - e começou cedo.

Dyatlov foi criado em uma família de matemáticos. Um de seus dois irmãos é matemático aplicado. Ambos os pais dele têm diplomas de matemática. Ele cresceu a cinco minutos a pé do campus da Universidade Estadual de Novosibirsk (NSU), um importante centro de pesquisa acadêmica da Sibéria, onde seu pai ainda leciona.

"Desde tenra idade, fui exposto a todos os tipos de matemática", diz ele. “Havia jornais e livros espalhados por nossa casa. Tive muita sorte de gostar de matemática e ter nascido em uma família onde muita matemática estava acontecendo. ”

Ele pode até rastrear seu interesse pela análise microlocal - sua área de especialidade hoje como professor associado de matemática no MIT - para conversar com seu irmão mais velho décadas atrás. Essas conversas provocaram um fascínio pelas equações diferenciais parciais, que Dyatlov estudou na graduação da NSU, onde seu irmão e seu pai receberam seu doutorado.

Dyatlov continuou seus estudos de pós-graduação na Universidade da Califórnia em Berkeley. Lá, sua trajetória foi influenciada por um curso que ele fez durante seu primeiro ano com o professor Maciej Zworski sobre a teoria das ressonâncias dispersantes, que ele explica são "estados puros para sistemas nos quais a energia pode se espalhar até o infinito".

Seria um encontro proveitoso. Zworski tornou-se consultor de dissertação de Dyatlov; uma década depois, eles ainda estão colaborando. Além dos muitos trabalhos que eles escreveram juntos, eles foram coautores de um novo livro publicado pela Sociedade Americana de Matemática em setembro.

Zworski, que obteve seu diploma de bacharel e doutorado em matemática pelo MIT, deu a Dyatlov um problema específico para resolver no início de seus estudos de pós-graduação.

“Naquela época, havia um pouco de mistério em torno de como aplicar métodos da teoria de espalhamento a buracos negros”, lembra ele. O problema, relacionado a esse mistério, cresceu na exploração detalhada de sua dissertação de decaimento exponencial de ondas no contexto da relatividade geral.

De sorte, colaboração e "trajetórias presas"

Em dezembro de 2013, Dyatlov iniciou um pós-doutorado no MIT; em 2015, ele foi contratado como professor assistente de matemática. Ele agora é professor associado e recebeu um mandato em 2019.

“Às vezes sinto que tive sorte muitas vezes”, diz Dyatlov sobre sua jornada profissional, desde crescer em uma família de matemáticos até encontrar mentores e colaboradores influentes como Zworski.

Dyatlov está estudando agora como o comportamento dos sistemas quânticos por longos períodos corresponde ao dos sistemas clássicos. Algumas de suas pesquisas recentes enfocam lacunas espectrais para sistemas caóticos quânticos abertos.

Para ajudar os alunos iniciantes a conceituá-lo, ele oferece a analogia de tocar um sino: "Como a forma de um sino determina quanto tempo seu som é mantido?" (Às vezes ele usa canecas do departamento de matemática do MIT).

A forma do sino determina quanto tempo o som é mantido. A diferença está na afinação do som e em quanto tempo ele pode ser ouvido. "Você pode estudar os dois", diz ele, "mas uma pergunta natural a ser feita é que, não importa como você toque a campainha, quanto tempo leva para o som desaparecer?"

A física clássica pode caracterizar o que está acontecendo com o sino (ou caneca) como um fenômeno semelhante à luz refletida no espelho: o som ricocheteia uma vez do sino e depois escapa para o infinito.

"Matematicamente, o que você espera ver é uma deterioração exponencial da energia, da solução para uma equação de onda correspondente", explica ele. O que interessa a Dyatlov é a taxa desse decaimento e se, em algumas situações, pode não haver decaimento exponencial.

Seu trabalho recente investiga o que acontece com essas trajetórias em condições de "caos quântico".

“Diga que você tem ondas batendo e tudo escapa, mas você tem um sistema - digamos, o interior de uma tigela - onde essas trajetórias clássicas nunca saem. O que eu estudo é uma situação em que você tem em seu sistema um conjunto fractal de trajetórias presas ”, diz ele.

Essas trajetórias presas formam um conjunto fractal que aparece "do nada", diz ele. “O fato de os conjuntos fractais aparecerem disso era conhecido bem antes do meu trabalho, mas ainda me surpreendeu quando olhei para ele. Aqui, um conjunto fractal aparece naturalmente em um problema em que você não colocou um conjunto fractal. ”

Esse trabalho levou ao desenvolvimento do que ele chama de "princípio da incerteza fractal". O princípio clássico da incerteza diz que você não pode identificar nem a posição nem o momento de uma partícula quântica. Dyatlov postulou uma forma desse princípio para esse conjunto fractal de trajetórias presas.

“ Achei que seria possível resolver essa questão de decaimento de ondas - essa pergunta sobre equações diferenciais parciais, sobre correspondência quântica clássica, sobre dinâmica de ondas e dinâmica caótica - mas o componente que você precisa é esse novo tipo de princípio de incerteza fractal, " ele diz.

Tradução e caixas de ferramentas

Perseguir essa pergunta exigiu que ele se ramificasse em diferentes campos da matemática, que estavam fora de seu próprio treinamento. Nessa busca, ele teve outro "golpe de sorte": o professor de matemática do MIT, Larry Guth, sugeriu que ele conversasse com Joshua Zahl, um pós-doutorado que pensava independentemente sobre uma questão relacionada, de seu próprio campo de combinatória aditiva. Aplicando suas respectivas técnicas, eles desenvolveram uma prova de decaimento exponencial em alguns conjuntos fractais específicos e escreveram um artigo juntos sobre o assunto. Alguns anos depois - em mais uma colaboração de "sorte" - Dyatlov trabalhou com o falecido Jean Bourgain, um matemático de renome no Instituto de Estudos Avançados, para provar o princípio da incerteza fractal no caso geral desses conjuntos.

"Você tem sua caixa de ferramentas e tenta tirar o máximo dela possível para um problema", diz ele, mas às vezes é preciso procurar novas ferramentas. "O MIT é um ótimo lugar para isso."

Esse ato de alcançar campos é fundamental para a prática da matemática, diz ele. O livro que ele publicou recentemente com Zworski começa com uma citação de Goethe: “Os matemáticos são franceses: o que quer que alguém lhes diga eles se traduzem em seu próprio idioma e então se torna algo completamente diferente”.

Dyatlov vê uma conexão entre essa epígrafe e suas próprias incursões na correspondência entre matemática e física.

"É uma visão irônica disso", diz ele. “Existe uma força repulsiva natural para a matemática e a física divergirem em campos separados, porque fazemos as coisas de maneira diferente. Físicos experimentais precisam respeitar a realidade da situação e pensar no que você pode modelar em um laboratório. Como matemático, você se concentra nas coisas que pode provar. Você tem que destilar e traduzir os fenômenos físicos em teoremas. ”

"Cabe às pessoas nas comunidades criar uma força de atração para trabalhar em conjunto e superar essa divisão."

 

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